Per un robot amb dos esglaons \(a_1, a_2\) i angles \(q_1, q_2\):
\[ x = a_1 \cos q_1 + a_2 \cos(q_1 + q_2) \] \[ y = a_1 \sin q_1 + a_2 \sin(q_1 + q_2) \]El jacobià 2×2 és:
\[ J = \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial q_1} & \frac{\partial x}{\partial q_2} \\ \frac{\partial y}{\partial q_1} & \frac{\partial y}{\partial q_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -a_1 \sin q_1 - a_2 \sin(q_1+q_2) & -a_2 \sin(q_1+q_2) \\ a_1 \cos q_1 + a_2 \cos(q_1+q_2) & a_2 \cos(q_1+q_2) \end{bmatrix} \]Podem definir les columnes com vectors:
\[ \mathbf{J}_1 = \begin{bmatrix}-a_1 \sin q_1 - a_2 \sin(q_1+q_2) \\ a_1 \cos q_1 + a_2 \cos(q_1+q_2) \end{bmatrix}, \quad \mathbf{J}_2 = \begin{bmatrix}- a_2 \sin(q_1+q_2) \\ a_2 \cos(q_1+q_2) \end{bmatrix} \]\[ \det(J) = J_{11} J_{22} - J_{12} J_{21} \] \[ \det(J) = (-a_1 \sin q_1 - a_2 \sin(q_1+q_2)) (a_2 \cos(q_1+q_2)) - (-a_2 \sin(q_1+q_2)) (a_1 \cos q_1 + a_2 \cos(q_1+q_2)) \]
Expandim i simplifiquem els termes:
\[ \det(J) = a_1 a_2 (\sin(q_1+q_2)\cos q_1 - \sin q_1 \cos(q_1+q_2)) \] ---Usant \(\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\), amb \(A = q_1 + q_2\) i \(B = q_1\):
\[ \det(J) = a_1 a_2 \sin((q_1+q_2) - q_1) = a_1 a_2 \sin q_2 \] ---El determinant d’una matriu 2×2 és equivalent al producte creuat dels vectors columna:
\[ \det(J) = |\mathbf{J}_1 \times \mathbf{J}_2| \]Això mesura l’àrea del paral·lelogram generat pels vectors de velocitat del final d’efector. La destresa és màxima quan els vectors són perpendiculars (\(q_2 = \pi/2\)) i mínima (singularitat) quan són col·lineals (\(q_2 = 0\) o \(\pi\)).
---